Silabus

1. Penjumlahan/pengurangan vektor/matriks.
2. Panjang vektor.
3. Dot product.
4. Perkalian/perpangkatan matriks.
5. Determinan matriks 2×2 dan 3×3.
6. Invers matriks 2×2 dan 3×3.
7. Sistem persamaan linear 2 dan 3 variabel menggunakan invers matriks.

Terdapat 15–20 soal dengan waktu 75 menit, dengan tiga tipe soal.

• Soal mudah, 1 poin;
• Soal sedang, 3 poin; dan
• Soal sulit, 5 poin.

Beberapa soal bisa menjadi satu kelompok soal, misalkan soal 4–6 memiliki satu kasus yang sama.

Soal berbentuk esai.

Soal sedang dan sulit bisa mendapat nilai parsial. Nilai parsial tidak ada di soal mudah.

Penulisan cara opsional, jika jawaban akhir sudah benar, cara pengerjaan tidak ditinjau. Jika jawaban akhir salah, maka akan mendapat nilai parsial sesuai seberapa dekat dengan cara yang benar.

Problemsetters:

1. Zafran Prayata Wiza @zafran17 (Soal 1–7).
2. Accel Ibrahim Tampubolon @IBruhse (Soal 8–15).

---

Soal

Soal 1. (1 poin) Tentukan hasil operasi matriks berikut.

$$ \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Soal 2. (1 poin) Diketahui $\begin{bmatrix} 5 \\ 2x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = 38$. Tentukan nilai $x$.

Soal 3. (3 poin) Seorang pengembang AI membuat model linear $f(x) = 5x + 7$. Dari hasil training model, dihasilkan matriks bobot $\v{W} = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & k^2 \end{bmatrix}$, nilai $k$ hilang karena proses training yang tidak optimal. Setelah dilakukan training berkelanjutan, didapati $|\v{W}| = 72$ dan $k > 0$. Tentukan nilai $f(k)$.

Soal 4. (3 poin total) Misalkan $\{N, M\}$ adalah sebuah matriks berukuran $N$ baris dan $M$ kolom. Tentukan ukuran hasil perkalian matriks-matriks tersebut dengan $\{B, K\}$, di mana $B$ adalah banyak baris dan $K$ adalah banyak kolom. Jika matriks tersebut tidak bisa dikalikan, maka tuliskan $-1$.

a. (1 poin) $\{67, 48\} \times \{48, 50\} \times \{50, 10\}$. b. (1 poin) $\{47, 33\} \times \{45, 33\} \times \{33, 7\} \times \{7, 10\}$. c. (1 poin) $\{1, 5\} \times \{5, 10\} \times \{10, 5\} \times \{5, 2\}$.

Soal 5. (5 poin) Diketahui vektor $\v{v} = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}^\top$ dan $a > b > 0$. Dari pengukuran, didapati $\|\v{v}\| = 10$ dan $\begin{vmatrix} b & 3 \\ 4 & a \end{vmatrix} = 36$. Tentukan nilai $a$ dan $b$.

Soal 6. (3 poin) Sebuah model computer vision memerlukan praproses gambar. Terdapat dua jenis operasi gambar pada model tersebut.

• Ubah kontras sebanyak $k$ kali lipat, bermakna perkalian matriks gambar dengan skalar $k$.
• Menambah filter $\v{F}$, bermakna penjumlahan matriks gambar dengan matriks filter $\v{F}$.

Diberikan gambar awal $\v{G} = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$, dan operasi praproses berikut.

1. Ubah kontras sebanyak 3 kali lipat.
2. Tambah filter $\v{F} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
3. Ubah kontras sebanyak $1/4$ kali lipat.

Tentukan hasil gambar akhir setelah praproses tersebut.

Soal 7. (3 poin total) Diketahui $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 14 \end{bmatrix}$.

a. (2 poin) Tentukan $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{-1}$. b. (1 poin) Tentukan nilai dari $p + q$.

Soal 8–11. Computer Vision Imagery

Sebuah model computer vision mendeteksi objek dalam gambar melalui dua titik fokus fitur 2-dimensi:

• Titik fokus A memiliki vektor fitur $\v{a} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}^\top$.
• Sensor mendeteksi pergeseran fokus dari titik A ke titik B sebesar $\v{d} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \end{bmatrix}^\top$, sehingga titik fokus B memiliki vektor fitur $\v{b} = \v{a} + \v{d}$.
• Lapisan filter visual memiliki matriks transformasi $\v{F} = \begin{bmatrix} k & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ dengan satu variabel $k$ yang belum diketahui:

Soal 8. (1 poin) Tentukan nilai $\|\v{b}\|$.

Soal 9. (3 poin) Model mengalibrasi matriks filter $\v{F}$ dan didapat $|\v{F}| = 1$. Tentukan matriks filter ganda $\v{F}^2$ dari filter yang telah dikalibrasi tersebut.

Soal 10. (3 poin) Agar gambar yang telah difilter dapat direkonstruksi kembali ke bentuk aslinya tanpa distorsi, tentukan invers dari matriks filter $\v{F}$ yang telah dikalibrasi.

Soal 11. (5 poin total) Sebuah gambar objek memiliki vektor fitur asli $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^\top$ diproses melalui filter $\v{F}$ dan mengalami pergeseran fitur sebesar $\v{a} + 3\v{b}$, sehingga menghasilkan sinyal komposit akhir $\v{s} = \v{F} \v{x} + (\v{a} + 3\v{b})$.

Sensor mendeteksi bahwa sinyal komposit $\v{s}$ tersebut tepat setara dengan hasil pemrosesan ganda pada titik fokus A, yaitu $\v{F}^2 \v{a}$. Tentukan vektor fitur asli $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^\top$ dari gambar objek tersebut dengan memanfaatkan matriks invers $\v{F}^{-1}$ yang telah ditemukan pada soal sebelumnya.

a. (1 poin) Tentukan nilai $\v{s}$. b. (1 poin) Tentukan nilai $\v{a} + 3\v{b}$. c. (3 poin) Tentukan nilai $\v{x}$.

Soal 12–15. Model Multimodal

Sebuah model AI multimodal memproses integrasi tiga jenis data (teks, audio, dan visual) ke dalam ruang representasi fitur 3-dimensi.

• Vektor fitur referensi awal adalah $\v{p} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \end{bmatrix}^\top$.
• Sensor mendeteksi vektor pergeseran konteks sebesar $\v{d} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -5 \end{bmatrix}^\top$, sehingga vektor fitur konteks kedua didefinisikan sebagai $\v{q} = \v{p} + \v{d}$.
• Lapisan transfer representasi memiliki matriks transformasi dengan satu parameter pembobotan $m$ yang belum diketahui $$ \v{M} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & m & 2 \\ 2 & 5 & 4 \end{bmatrix}. $$

Soal 12. (1 poin) Tentukan panjang dari vektor fitur konteks $\v{q}$ untuk mengukur intensitas sinyal representasi kedua.

Soal 13. (3 poin) Model AI mengkalibrasi nilai parameter $m$ pada matriks $\v{M}$ dan didapat bahwa $|\v{M}| = 1$. Tentukan nilai $m$.

Soal 14. (5 poin) Agar seluruh data 3-dimensi dapat direkonstruksi kembali ke bentuk aslinya tanpa kehilangan informasi, tentukan matriks dekoder $\v{M}^{-1}$ dari matriks transfer $\v{M}$ yang telah dikalibrasi.

Soal 15. (5 poin total) Dalam proses sintesis konten, sebuah vektor representasi laten $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}^\top$ harus memenuhi tiga kondisi keseimbangan energi pada tiga saluran modalitas AI.

$$ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = \|\v{p}\|^2 \\ x_1 + mx_2 + 2x_3 = \|\v{q}\|^2 -12 \\ 2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 11 (\v{p} \cdot \v{q}) + 1 \end{cases} $$

Dengan memodelkan kondisi di atas ke dalam sistem persamaan matriks $\v{M} \v{x} = \v{b}$, tentukan nilai vektor representasi laten $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}^\top$ dengan memanfaatkan matriks invers $\v{M}^{-1}$ yang telah ditemukan pada soal sebelumnya.

a. (2 poin) Tentukan nilai $\v{b}$. b. (3 poin) Tentukan nilai $\v{x}$.

---

Pembahasan

[!quote] Soal 1 (1 poin) Tentukan hasil operasi matriks berikut.

$$ \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{align} &= \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 + (-8) \cdot 4 & 5 \cdot 3 + (-8) \cdot 7 \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 3 + 1 \cdot 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -27 & -41 \\ 6 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -28 & -41 \\ 6 & 14 \end{bmatrix}. \end{align} $$

[!quote] Soal 2 (1 poin) Diketahui $\begin{bmatrix} 5 & 2x \end{bmatrix}^\top \cdot \begin{bmatrix} -2 & 1 \end{bmatrix}^\top = 38$. Tentukan nilai $x$.

Didapat bahwa hasil dot product-nya adalah $-10 + 2x = 38$. Diperoleh bahwa $x = 24$.

[!quote] Soal 3 (3 poin) Seorang pengembang AI membuat model linear $f(x) = 5x + 7$. Dari hasil training model, dihasilkan matriks bobot $\v{W} = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & k^2 \end{bmatrix}$, nilai $k$ hilang karena proses training yang tidak optimal. Setelah dilakukan training berkelanjutan, didapati $|\v{W}| = 72$ dan $k > 0$. Tentukan nilai $f(k)$.

Pertama-tama, hitung determinan $\v{W}$ dalam bentuk $k$, yaitu $|\v{W}| = 5k^2 - 8$. Diketahui bahwa $|\v{W}|$ juga sama dengan $72$.

$$ \begin{align} 5k^2 - 8 &= 72 \\ 5k^2 &= 80 \\ k^2 &= 16 \\ k &\in \{-4, 4\}. \end{align} $$

Ada dua nilai $k$ yang memungkinkan. Namun pada syarat $k > 0$, maka $k$ tidak mungkin sama dengan $-4$, sehingga $k = 4$.

Lalu, hitung $f(k) = f(4) = 5(4) + 7 = 27$.

[!quote] Soal 4 (3 poin total) Misalkan $\{N, M\}$ adalah sebuah matriks berukuran $N$ baris dan $M$ kolom. Tentukan ukuran hasil perkalian matriks-matriks tersebut dengan $\{B, K\}$, di mana $B$ adalah banyak baris dan $K$ adalah banyak kolom. Jika matriks tersebut tidak bisa dikalikan, maka tuliskan $-1$.

a. (1 poin) $\{67, 48\} \times \{48, 50\} \times \{50, 10\}$. b. (1 poin) $\{47, 33\} \times \{45, 33\} \times \{33, 7\} \times \{7, 10\}$. c. (1 poin) $\{1, 5\} \times \{5, 10\} \times \{10, 5\} \times \{5, 2\}$.

a. $\{67, 10\}$. b. $-1$. c. $\{1, 2\}$.

[!quote] Soal 5 (5 poin) Diketahui vektor $\v{v} = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}^\top$ dan $a > b > 0$. Dari pengukuran, didapati $\|\v{v}\| = 10$ dan $\det\begin{pmatrix} b & 3 \\ 4 & a \end{pmatrix} = 36$. Tentukan nilai $a$ dan $b$.

Dari $\|\v{v}\| = 10$ diperoleh bahwa $a^2 + b^2 = 10^2 = 100$.

Dari $\det\begin{pmatrix} b & 3 \\ 4 & a \end{pmatrix}$ diperoleh bahwa $ab - 12 = 36$, sehingga $ab = 48$.

Ubah bentuk $a^2 + b^2$ menjadi $(a + b)^2 - 2ab$. Substitusikan nilai $ab$,

$$ \begin{align} (a + b)^2 - 2(48) &= 100 \\ (a + b)^2 &= 196 \\ a + b &\in \{-14, 14\}. \end{align} $$

Karena kedua $a$ dan $b$ lebih besar dari 0, maka tidak mungkin $a + b = -14$, sehingga diperoleh $a + b = 14$. Ubah bentuk $b$ dalam bentuk $a$, yaitu $b = 14 - a$.

Substitusikan $b$ pada persamaan $ab = 48$,

$$ \begin{align} a(14 - a) &= 48 \\ 14a - a^2 &= 48 \\ 0 &= a^2 - 14a + 48. \end{align} $$

Gunakan cara favorit anda untuk mencari akar persamaan kuadrat, didapat $a \in \{6, 8\}$.

Kasus 1. $a = 6$. Maka dari $b = 14 - a$ diperoleh $b = 8$. Kasus ini tidak memenuhi $a > b$.

Kasus 2. $a = 8$. Diperoleh $b = 6$.

Hasilnya adalah $a = 8$ dan $b = 6$.

[!quote] Soal 6 (3 poin) Sebuah model computer vision memerlukan praproses gambar. Terdapat dua jenis operasi gambar pada model tersebut.

• Ubah kontras sebanyak $k$ kali lipat, bermakna perkalian matriks gambar dengan skalar $k$.
• Tambah filter $\v{F}$, bermakna penjumlahan matriks gambar dengan matriks filter $\v{F}$.

Diberikan gambar awal $\v{G} = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$, dan operasi praproses berikut.

1. Ubah kontras sebanyak 3 kali lipat.
2. Tambah filter $\v{F} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
3. Ubah kontras sebanyak $1/4$ kali lipat.

Tentukan hasil gambar akhir setelah praproses tersebut.

Ekspresi dari praproses gambar tersebut adalah $\frac{1}{4} (3\v{G} + \v{F})$.

$$ \begin{align} &= \frac{1}{4} \left( 3 \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \begin{bmatrix} -9 & 12 \\ 15 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -8 & 12 \\ 16 & -4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

[!quote] Soal 7 (3 poin total) Diketahui $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 14 \end{bmatrix}$.

a. (2 poin) Tentukan $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{-1}$. b. (1 poin) Tentukan nilai dari $p + q$.

Hitung invers.

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{-1} &= \frac{1}{2 \cdot 4 - 3 \cdot 3} \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Lalu, kalikan invers dengan vektor konstan.

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 11 \\ 14 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 11 \\ 14 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\ 14 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Maka hasil $p + q = 3$.

Soal 8–11. Computer Vision Imagery

[!important] Deskripsi Soal Sebuah model computer vision mendeteksi objek dalam gambar melalui dua titik fokus fitur 2-dimensi:

• Titik fokus A memiliki vektor fitur $\v{a} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}^\top$.
• Sensor mendeteksi pergeseran fokus dari titik A ke titik B sebesar $\v{d} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \end{bmatrix}^\top$, sehingga titik fokus B memiliki vektor fitur $\v{b} = \v{a} + \v{d}$.
• Lapisan filter visual memiliki matriks transformasi $\v{F} = \begin{bmatrix} k & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ dengan satu variabel $k$ yang belum diketahui.

Hitung nilai $\v{b}$, diperoleh bahwa $\v{b} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix}^\top$.

[!quote] Soal 8 (1 poin) Tentukan $\|\v{b}\|$.

Gunakan teorema Pythagoras, yaitu $\|\v{b}\|^2 = 3^2 + 4^2$. Diperoleh $\|\v{b}\| = 5$.

[!quote] Soal 9 (3 poin) Model mengalibrasi matriks filter $\v{F}$ dan didapat $|\v{F}| = 1$. Tentukan matriks filter ganda $\v{F}^2$ dari filter yang telah dikalibrasi tersebut.

Tentukan determinan dalam bentuk $k$, yaitu $|\v{F}| = 2k - 3$. Karena $|\v{F}| = 1 = 2k - 3$, maka $k = 2$. Diperoleh $\v{F} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.

Kalikan $\v{F}$ dengan $\v{F}$,

$$ \begin{align} \v{F}^2 &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 12 & 7 \end{bmatrix}. \end{align} $$

[!quote] Soal 10 (3 poin) Agar gambar yang telah difilter dapat direkonstruksi kembali ke bentuk aslinya tanpa distorsi, tentukan invers dari matriks filter $\v{F}$ yang telah dikalibrasi.

$$ \v{F}^{-1} = \frac{1}{|\v{F}|} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} $$

Karena $|\v{F}| = 1$, maka $\v{F}^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.

[!quote] Soal 11 (5 poin total) Sebuah gambar objek memiliki vektor fitur asli $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^\top$ diproses melalui filter $\v{F}$ dan mengalami pergeseran fitur sebesar $\v{a} + 3\v{b}$, sehingga menghasilkan sinyal komposit akhir $\v{s} = \v{F} \v{x} + (\v{a} + 3\v{b})$.

Sensor mendeteksi bahwa sinyal komposit $\v{s}$ tersebut tepat setara dengan hasil pemrosesan ganda pada titik fokus A, yaitu $\v{F}^2 \v{a}$. Tentukan vektor fitur asli $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^\top$ dari gambar objek tersebut dengan memanfaatkan matriks invers $\v{F}^{-1}$ yang telah ditemukan pada soal sebelumnya.

a. (1 poin) Tentukan nilai $\v{s}$. b. (1 poin) Tentukan nilai $\v{a} + 3\v{b}$. c. (3 poin) Tentukan nilai $\v{x}$.

Pertama, cari $\v{s}$,

$$ \begin{align} \v{s} &= \v{F}^2 \v{a} \\ &= \begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 12 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 15 \\ 26 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Lalu, hitung nilai dari $\v{a} + 3\v{b}$,

$$ \begin{align} \v{a} + 3\v{b} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 \\ 12 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 10 \\ 14 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Substitusikan nilai-nilai yang sudah kita miliki, $\v{s}$, dan $\v{a} + 3 \v{b}$,

$$ \begin{align} \v{s} &= \v{F} \v{x} + (\v{a} + 3\v{b}) \\ \begin{bmatrix} 15 \\ 26 \end{bmatrix} &= \v{F} \v{x} + \begin{bmatrix} 10 \\ 14 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 15 \\ 26 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 \\ 14 \end{bmatrix} &= \v{F} \v{x} \\ \v{F}^{-1} \begin{bmatrix} 5 \\ 12 \end{bmatrix} &= \v{x} \\ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 12 \end{bmatrix} &= \v{x} \\ \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \end{bmatrix} &= \v{x}. \end{align} $$

Diperoleh $\v{x} = \begin{bmatrix} -2 & 9 \end{bmatrix}^\top$.

Soal 12–15. Model Multimodal

[!important] Deskripsi Soal Sebuah model AI multimodal memproses integrasi tiga jenis data (teks, audio, dan visual) ke dalam ruang representasi fitur 3-dimensi.

• Vektor fitur referensi awal adalah $\v{p} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \end{bmatrix}^\top$.
• Sensor mendeteksi vektor pergeseran konteks sebesar $\v{d} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -5 \end{bmatrix}^\top$, sehingga vektor fitur konteks kedua didefinisikan sebagai $\v{q} = \v{p} + \v{d}$.
• Lapisan transfer representasi memiliki matriks transformasi dengan satu parameter pembobotan $m$ yang belum diketahui $$ \v{M} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & m & 2 \\ 2 & 5 & 4 \end{bmatrix}. $$

Hitung $\v{q} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix}.$

[!quote] Soal 12 (1 poin) Tentukan panjang dari vektor fitur konteks $\v{q}$ untuk mengukur intensitas sinyal representasi kedua.

Gunakan teorema Pythagoras lagi,

$$ \begin{align} \|\v{q}\|^2 &= (4)^2 + (0)^2 + (-3)^2 \\ \|\v{q}\| &= 5 \end{align} $$

[!quote] Soal 13 (3 poin) Model AI mengkalibrasi nilai parameter $m$ pada matriks $\v{M}$ dan didapat bahwa $|\v{M}| = 1$. Tentukan nilai $m$.

$$ \left[\begin{array}{@{} ccc|cc @{}} 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & m & 2 & 1 & m \\ 2 & 5 & 4 & 2 & 5 \end{array}\right] $$

Hitung determinan matriks $\v{M}$ dalam bentuk $m$,

$$ \begin{align} |\v{M}| &= (1 \cdot m \cdot 4 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 5) - (1 \cdot m \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 5 + 2 \cdot 1 \cdot 4) \\ 1 &= (4m + 13) - (2m + 18) \\ 1 &= 2m - 5 \\ m &= 3 \end{align} $$

[!quote] Soal 14 (5 poin) Agar seluruh data 3-dimensi dapat direkonstruksi kembali ke bentuk aslinya tanpa kehilangan informasi, tentukan matriks dekoder $\v{M}^{-1}$ dari matriks transfer $\v{M}$ yang telah dikalibrasi.

Mulai dari mencari minor dari matriks

$$ \v{M} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \end{bmatrix}. $$

Diperoleh

$$ \operatorname{minor}(\v{M}) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. $$

Setelah itu bentuklah matriks kofaktor $\operatorname{cof}(\v{M})$, di mana

$$ \operatorname{cof}(\v{M}){i,j} = (-1)^{i+j} \operatorname{minor}(\v{M}){i,j}. $$

Akan diperoleh $\operatorname{cof}(\v{M}) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.

Lalu transpos matriks $\operatorname{cof}(\v{M})$ untuk mendapat matriks adjugat $\operatorname{adj}(\v{M})$,

$$ \operatorname{adj}(\v{M}) = \operatorname{cof}(\v{M})^\top = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}. $$

Invers dari matriks $\v{M}$ adalah

$$ \v{M}^{-1} = \frac{1}{|\v{M}|} \operatorname{adj}(\v{M}). $$

Karena $|\v{M}| = 1$, maka $\v{M}^{-1} = \operatorname{adj}(\v{M})$.

[!quote] Soal 15 (5 poin total) Dalam proses sintesis konten, sebuah vektor representasi laten $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}^\top$ harus memenuhi tiga kondisi keseimbangan energi pada tiga saluran modalitas AI.

$$ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = \|\v{p}\|^2 \\ x_1 + mx_2 + 2x_3 = \|\v{q}\|^2 -12 \\ 2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 11 (\v{p} \cdot \v{q}) + 1 \end{cases} $$

Dengan memodelkan kondisi di atas ke dalam sistem persamaan matriks $\v{M} \v{x} = \v{b}$, tentukan nilai vektor representasi laten $\v{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}^\top$ dengan memanfaatkan matriks invers $\v{M}^{-1}$ yang telah ditemukan pada soal sebelumnya.

a. (2 poin) Tentukan nilai $\v{b}$. b. (3 poin) Tentukan nilai $\v{x}$.

Untuk menghitung nilai $\v{b}$, tentukan $\|\v{p}\|^2$, $\|\v{q}\|^2 - 12$, dan $11(\v{p} \cdot \v{q}) + 1$.

• $\|\v{p}\|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (2)^2 = 9$.
• $\|\v{q}\|^2 = 5^2 = 25$, dari Soal 12.
• $\v{p} \cdot \v{q} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-3) = 2$.

Sehingga

$$ \begin{align} \v{b} &= \begin{bmatrix} 9 \\ 25 - 12 \\ 11(2) + 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 9 \\ 13 \\ 23 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Lalu gunakan matriks invers $\v{M}^{-1}$ untuk mendapat $\v{x}$,

$$ \begin{align} \v{M} \v{x} &= \v{b} \\ \v{x} &= \v{M}^{-1} \v{b} \\ \v{x} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 \\ 13 \\ 23 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}. \end{align} $$